FAKTOR DAN KELIPATAN BILANGAN

FAKTOR PERSEKUTUAN DUA BILANGAN

Contoh :
1. Faktor persekutuan dari 6 dan 10 adalah .....

Jawab :
Faktor dari 6   = 1, 2, 3 dan 6
Faktor dari 10 = 1, 2, 5, dan 10

Anggota yang sama pada kedua faktor tersebut adalah 1 dan 2.
Jadi, faktor persekutuan dari 6 dan 10 adalah ( 1, 2 )


2. Faktor persekutuan dari 36 dan 42 adalah....

Faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36

Faktor dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42.
Anggota - aggota yang sama pada kedua faktor tersebut adalah 1, 2, 3, dan 6


BILANGAN PRIMA DAN FAKTOR PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan - bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
3 = 1 x 3, 3 adalah bilangan prima, karena faktornya hanya 1 dan 3
6 = 1 x 6 = 2 x 3, 6 bukan bilangan prima karenaa faktornya 1, 2, 3, dan 6.

Cara menentukan bilangan prima yang kurang dari 100
1. Arsirlah bilangan 1
2. Lingkarilah bilangan genap kecuali 2

3. Tandai dengan "segitiga" untuk setiap kelipatan 3, kecuali 3
4. Tandai dengan "kotak" untuk setiap kelipatan 5, kecuali 5.
5. Beri tanda "silang" untuk bilang kelipatan 7, kecuali 7.

FAKTOR PRIMA SUATU BILANGAN 

Contoh ;
1. Tentukan faktor prima dari 36
     Jawab :
     Cara 1 : dengan menggunakan pohon faktor 
          

 











     Faktorisasi prima dari 36 = 2 x 2 x 3 x 3 =  2² x 3²
     Jadi, faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3 ( bilangan yang sama hanya ditulis sekali saja )
 
     Cara 2 : mebagi dengan bilangan prima

     Faktorisasi prima dari 36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2² x 3²
     Jadi, faktor prima dari 36 adalah 2 dan 3.

2. Tentukan faktor prima dari 126
     Jawab :
     Cara 1 : Pohon Faktor 
     













     Faktorisasi prima dari 126 = 2  x 3 x 3 x 7 = 2 x 3² x 7
     Jadi, faktor prima dari 126 = 2, 3, dan 7

     Cara 2 : membagi dengan bilangan prima

 
 Faktorisasi prima dari 126 = 2 x 3 x 3 x 7 = 2 x 3² x 7
 Jadi, faktor prima dari 126 = 2, 3, dan 7


MENENTUKAN FPB DAN KPK DARI DUA BILANGAN ATAU LEBIH 
MENGGUNAKAN TABEL

KPK adalah singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil, sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar. Untuk mencari KPK dan FPB diperlukan hal tentang bilangan prima dan faktorisasi prima,

- Bilangan prima
  bilangan asli yang hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1,
  yaitu {2,3,5,7,11,.....}.

- Faktorisasi prima
  Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan faktorisasi
  prima ini diperlukan pohon faktor.

Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah bilangan terbesar yang habis membagi kedua bilangan tersebut.
Sedangkan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.

Cara menentukan FPB dan KPK menggunakan tabel :
a. Bagilah kedua bilangan dengan bilangan yang sama
b. Bila salah satu bilangan tidak dapat dibagi, maka tulis lagi bilangan itu
c. Hasilnya adalah nilai baris paling kiri pada tabel

    KPK (Kelipatan Persekutuan terKecil)

a.       Mencari KPK dengan Kelipatan Persekutuan Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau lebih .
KPK adalah nilai terkecil dari kelipatan persekutuan 2 atau lebih bilangan.
Contoh: cari KPK dari 4 dan 8

Kelipatan 4 adalah = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ....}
Kelipatan 8 adalah = {8, 16, 24. 32. 40, 48, 56, ...}

Kelipatan persekutuannya adalah 8, 16, 24, 32, ...    ( kelipatan yang sama dari 4 dan 8)
Nilai yang terkecil adalah 8, sehingga KPKnya adalah 8

b.      Mencari KPK dengan Faktorisasi Prima
Semua bilangan faktor dikalikan
Apabila ada yang sama ambil yang terbesar, apabila keduanya sama ambil salah satunya

FPB (Faktor Persekutuan Besar)

a.       Mencari FPB dengan Faktor Persekutuan

      Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.

      FPB adalah nilai paling besar dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih itu .

      Contoh: 

      cari FPB dari 4 dan 8 dan 12

      Faktor dari 4 adalah = {1, 2, 4}

      Faktor dari 8 adalah = {1, 2, 4, 8}

      Faktor 12 adalah= {1, 2, 3, 4, 6, 12} 

      Faktor persekutuannya adalah 1, 2, 4

      Nilai yang terbesar adalah 4, sehingga FPBnya adalah 

b.      Mencari FPB dengan Faktorisasi Prima

      Ambil bilangan faktor yang sama dan ambil ysng terkecil dari 2 atau lebih bilangan 

Contoh Soal :

1. Tentukan FPB dan KPK dari 36 dan 56
     Jawab :

     Jadi, FPB dari 36 dan 56 adalah 2 x 2 = 4
             KPK dari 36 dan 56 adalah 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 504


2. Bu Aminah mempunyai 20 jeruk dan 30 salak, jeruk dan salak akan dimasukkan ke dalam plastik       dengan jumlah yang sama.

a. Berapa plastik yang diperlukan?
b. Berapa banyak jeruk dan salak pada masing-masing plastik?

Jawab:
Faktorisasi prima dari 20 = 2² x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5

FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kalikan faktor yang sama, apabila sama ambil yang terkecil)

a. Jumlah plastik yang diperlukan = 10 plastik
b. Jumlah jeruk pada setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
c. Jumlah salak pada setiap plastik = 30/10 = 3 salak

BILANGAN - bagian kedua

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.
Contoh :
2 x 3 = 3 + 3 = 6

Sifat - sifat perkalian suatu bilangan :
a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
    Contoh :
    1. 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
    2. 7 x 8 = 56
    3. 12 x 15 = 180

b. Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
    Contoh :
    1. 4 x (-5) = (-5 ) + (-5) + (-5) + (-5) = -20
    2. 7 x (-8) = -56
    3. 12 x (-15) = -180

c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
    Contoh :
    1. -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5 ) = -20
    2. -7 x 8 = -56
    3. -12 x (-15) = -180

d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh :
    1. -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
    2. -7 x (-8) = 56
    3. -12 x (-15) = 180

Kesimpulan :

Tabel Perkalian :

Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian
Contoh :
1. 12 : 4 = 3
    karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12
2. 42 : 7 = 6
    karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42


Sifat - sifat pembagian bilangan - bilangan bulat

a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
    Contoh :
    1. 63 : 7 = 9
    2. 143 : 11 = 13

b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
    Contoh :
    1. 63 : (-9) = -7
    2. 72 : (-6) = -12

c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
    Contoh :
    1. -63 : 7 = -9
    2. -120 : 10 = -12

d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
    Contoh :
    1. -72 : (-8) = 9
    2. -120 : (-12) = 10

Kesimpulan :

Sifat Operasional Bilangan Bulat

a. Sifat komutatif ( pertukaran ) pada penjumlahan dan perkalian

    Contoh :
    1. 2 + 4 = 4 +2 = 6
    2. 3 + 5 = 5 + 3 = 8
    3. 4 x 2 = 2 x 4  = 8
    4. 3 x 2 = 2 x 3  = 6

b. Sifat asosiatif ( pengelompokan ) pada penjumlahan dan perkalian.

    Contoh :
    1. ( 2 + 4 ) + 6 = 2 + ( 4  + 6 ) = 12
    2. ( 3 + 6 ) + 7 = 3 + ( 6 + 7  ) = 16
    3. ( 3 x 2 ) x 4 = 3 x ( 2 x 4 )   = 24
    4. ( 3 x 5 ) x 2 = 3 x ( 5 x 2 ) = 30

c. Sifat distributif ( penyebaran )

    Contoh :
    1. 4 x ( 5 + 2 ) = ( 4 x 5 ) + ( 4 x 2 ) = 28
    2. 5 x ( 7 + 3 ) = ( 5 x 7 ) + ( 5 x 3 ) = 50

d. Operasi hitung campuran
    aturan 1:

    Jika dalam suatu operasi hitung terdapat penjumlahan

    dan pengurangan, atau perkalian dan pembagian, maka

    operasi operasi yang sebelah kiri dikerjakan lebih dulu.

    Contoh :

    1. 13 + 8 - 3   = ( 13 + 8 ) - 3

                           = 21 - 3

                          = 18

    2. 10 x 4 : 2    = ( 10 x 4 ) : 2

                           = 40 : 2

                           = 20

    aturan 2 :

    Jika dalam suatu operasi hitung terdapat penjumlahan, pengurangan,

    perkalian, dan pembagian, maka operasi perkalian atau pembagian

    dikerjakan terlebih dahulu, kemudian mengerjakan operasi penjumlahan 

    atau pengurangan.

    Contoh : 

    1. 12 + 14 : 2        = 12 + ( 14 : 2 )

                                 = 12 + 7

                                 = 19

    2. 5 x 4 - 8 : 2       = ( 5 x 4 ) - ( 8 : 2 )

                                 = 20 - 4

                                 = 16

    3. 3 x 5 + 4 : 2      = ( 3 x 5 ) + ( 4 : 2 )

                                 = 15 + 2

                                 = 17 

Membulatkan dan Menaksir
1. Pembulatan ke satuan terdekat angka desimal kurang dari 0,5 dibulatkan ke nol. Angka desimal           lebih dari atau sama dengan 0,5 dibulatkan ke satu.
    Contoh :
    29,3 dibulatkan menjadi 29
    29,6 dibulatkan menjadi 30

2. Pembulatan ke puluhan terdekat. Angka satuan kurang dari 5 dibulatkan ke nol. angka satuan lebih     dari atau sama dengan 5 dibulatkan ke 10
    Contoh :
    72 dibulatkan meenjadi 70
    218 dibulatkan menjadi 220

3. Pembulatan ke ratusan dari 50 angka puluhan kurang dari 50 dibulatkan ke nol. Angka puluhan           lebih dari atau sama dengan 50 dibulatkan ke 100.
    Contoh :
    678 dibulatkan menjadi 700
    3.139 dibulatkan menjadi 3.100

4. Menaksir hasil kali
    Menaksir hasil kali yaitu mengalikan pembulatan bilangan - bilangan yang dikalikan
 .
5. Menaksir hasil bagi
   Menaksir hasil bagi yaitu membagi pembulatan bilangan yang dibagi dengan pembulatan bilangan      pembagi.


Perpangkatan

    Bilangan – bilangan seperti : 2², 2³, 4³, 3⁴, 5³ dinamakan bilangan berpangkat.
    2²  = dibaca dua pangkat dua
    2³  = dibaca dua pangkat tiga
    4³  = dibaca empat pangkat tiga
    3⁴  = dibaca tiga pangkat empat
    5³   = dibaca lima pangkat tiga

    2²  = 2 x 2 = 4
    2³  = 2 x 2 x 2 = 8
    4³  = 4 x 4 x 4 = 64
    3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
    5³  = 5 x 5 x 5 = 125

Operasi Hitung pada Bilangan Berpangkat
Contoh :
1. 4³ + 3⁴  = (4 x 4 x 4 ) + (3 x 3 x 3 x 3)
                 = 64 + 81
                 = 145

2. 5³ - 4³   = (5 x 5 x 5) - ( 4 x 4 x 4 )
                 = 125 - 64
                 = 61

3. 5² x 2⁴  = (5 x 5) x (2 x 2 x 2 x 2)
                 = 25 x 16
                 = 400

4. 3⁵ : 3³   = (3 x 3 x 3 x 3 x 3) : (3 x 3 x 3)
                 = 243 : 27
                 = 9

Mengenal Bilangan Kuadrat 
Bilangan 1², 2², 3², 4², dan seterusnya disebut bilangan berpangkat dua atau bilangan kuadrat.
1²  = dibaca satu kuadrat
2²  = dibaca dua kuadrat
3²  = dibaca tiga kuadrat
4²  = dibaca tiga kuadrat

Jadi, kuadrat suatu bilangan adalah perkalian bilangan yang sama.
Contoh :
1. 1 adalah bilangan kuadrat, karena     1 = 1 x 1 = 1²
2. 64 adalah bilangan kuadrat, karena 64 = 8 x 8 = 8²
3. 81 adalah bilangan kuadrat, karena 81 = 9 x 9 = 9²
4. 121 adalah bilangan kuadrat, karena 121 = 11 x 11 = 11²

Akar Kuadrat
Akar kuadrat adalah kebalikan dari kuadrat bilangan. Akar kuadrat dilambangkan dengan √
Contoh :
1. √1 = 1 , karena 1² = 1

2.   √4 = 2 , karena 2² = 4

3.   √9 = 3 , karena 3² = 9

      Jadi :

      √16 = 4  , √25 = 5  , √36 = 6  , √49 = 7  , dan seterusnya.

Mencari akar kuadrat suatu bilangan yang cukup besar.

Contoh :

   √289 = .....

     Jawab :

    

       

      

   Langkah penyelesaian :
   1. Pisahkan dua angka dari belakang ----- 2.89
   2. Carilah bilangan apabila dikuadratkan hasilnya mendekati : 2, diperoleh 1,
       karena 1 x 1 = 1, tulis 1
   3. Jumlahkan 1 + 1 = 2
   4. Carilah bilangan yang memenuhi 2 ..... x ..... = 189
       diperoleh 2  7 x 7  = 189.  Tulis 7 disebelah kanan 1, sehingga menjadi 17

   5. Kurangkanlah ! sehingga diperoleh 0
       Jadi ,
       √289   = 17

BILANGAN - bagian pertama

LAMBANG BILANGAN BULAT

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah ( 0, 1, 2, 3, ... ) dan negatifnya ( -1, -2, -3, ... , -0 dimana -0 ini adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah ). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.

Lambang bilangan bulat bentuk panjangnya merupakan hasil penjumlahan dari perkalian bilangan dengan pemangkatan bilangan 10.
Contoh :
1. 2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5
= 2 x 10³ + 3 x 10² + 4 x 10¹ + 5 x 10°
                  2.345 = 2 ribuan + 3 ratusan + 4 puluhan + 5 satuan
                  2.345 dibaca dua ribu tiga ratus empat puluh lima

 2.  435.748   = 400.000 + 30.000 + 5.000 + 700 + 40 + 8
= 4 x 10⁵ + 3 x 10⁴ + 5 x 10³ + 7 x 10² + 4 x 10¹ + 8 x 10°
        435.748 = 4 ratus ribuan + 3 puluh ribuan + 5 ribuan + 7 ratusan + 4 puluhan + 8 satuan
        435.748 dibaca empat ratus tiga puluh lima ribu tujuh ratus empat puluh delapan.


MENENTUKAN TEMPAT NILAI BILANGAN

Contoh :
1. 76.321, dibaca tujuh puluh enam tiga ratus dua puluh satu.
2. 675.402, dibaca enam ratus tujuh puluh lima ribu empat ratus dua.
3. 4.305.045, dibaca empat juta tiga ratus lima ribu empat puluh lima.
4. 47.532, dibaca empat puluh tujuh ribu lima ratus tiga puluh dua.
5. 574.904, dibaca lima ratus tujuh puluh empat ribu sembilan ratus empat.
6. 5.301.052, dibaca lima juta tiga ratus satu ribu lima puluh dua.


LAMBANG BILANGAN ROMAWI

1   = I               21 = XXI            41 = XLI           61 = LXI            86 = LXXXVI
2   = II              22 = XXII           42 = XLII          62 = LXII            87= LXXXVII 
3   = III             23 = XXIII          43 = XLIII         63 = LXIII           88 = LXXXVIII
4   = IV             24 = XXIV          44 = XLIV        64 = LXIV           89 = LXXXIX
5   = V              25 = XXV           45 = XLV         65 = LXV            90 = XC
6   = VI             26 = XXVI          46 = XLVI        66 = LXVI            91= XCI
7   = VII            27 = XXVII         47 = XLVII       67 = LXVII            92= XCII
8   = VIII           28 = XXVIII        48 = XLVIII      68 = LXVIII           
9   = IX             29 = XXIX          49 = XLIX        69 = LXIX
10 = X              30 = XXX           50 = L             70 = LXX
11 = XI             31 = XXXI          51 = LI            71 = LXXI
12 = XII            32 = XXXII         52 = LII           72 = LXXII
13 = XIII           33 = XXXIII        53 = LIII          73 = LXXIII
14 = XIV           34 = XXXIV        54 = LIV         74 = LXXIV
15 = XV            35 = XXXV         55 = LV          75 = LXXV
16 = XVI           36 = XXXVI        56 = LVI         76 = LXXVI
17 = XVII          37 = XXXVII       57 = LVII        77 = LXXVII
18 = XVIII         38 = XXXVIII      58 = LVIII       78 = LXXVIII
19 = XIX           39 = XXXIX        59 = LIX         79= LXXIX
20 = XX            40 = XL             60 = LX          80= LXXX
                                                                      81= LXXXI
                                                                      82= LXXXII
                                                                      83= LXXXIII
                                                                      84= LXXXIV
                                                                      85= LXXXV                                                                                     

Lambang bilangan romawi menggunakan sistem pengulangan, penjumlahan, dan pengurangan. Lambang bilangan romawi dibaca dari kiri ke kanan. Jika bilangan romawi yang nilainya sama atau lebih kecil terletak di sebelah kanan, berarti penjumlahan.
Contoh :
1. VII = 5 + 1 + 1 = 7
2. LXXIII = 50 + 10 + 10 + 3 = 73
3. CLXVII = 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 167

Jika bilangan romawi yang nilainya lebih kecil terletak di sebelah kiri, berarti pengurangan.
Contoh :
1. IV = 5 – 1 = 4
2. XL = 50 – 10 = 40
3. CM = 1000 – 100 = 900


Pengulangan bilangan romawi dapat dilakukan sebanyak – banyaknya tiga kali.
Contoh :
1. III = 1 + 1 + 1 = 3
2. XXX = 10 + 10 + 10 = 30
3. CCC = 100 + 100 + 100 = 300
4. MMM = 1000 + 1000 + 1000 = 3000

Pengulangan bilangan tidak berlaku untuk V, L dan D.
Contoh :
1. 15, tidak boleh ditulis VVV, karena 15 = XV
2. 150, tidak boleh ditulis LLL, karena 150 = CL
3. 1.500, tidak boleh ditulis DDD, karena 1.500 = MD


MACAM – MACAM BILANGAN 

1. Bilangan asli
        A = { 1, 2, 3, 4,.... }
2. Bilangan cacah
        C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }
3. Bilangan bulat
        B = { ...., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,....}
4. Bilangan rasional
        a. Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua bilangan bulat.
            Contoh :
            2 adalah bilangan rasional, sebab: 2 = 4/2 , 8/4, 16/8 dan seterusnya.
        b. Bilangan meliputi bilangan bulat
            ( bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif/asli ) dan bilangan pecahan.
        c. Keanggotaan himpunan bilangan rasional dapat digambarkan dengan bagan sebagai berikut :
         

       d. Semua bilangan asli adalah bilangan rasional
           Semua bilangan cacah adalah bilangan rasional
           Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional
           Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional


HIMPUNAN BILANGAN BULAT

1. Himpunan Bilangan Bulat
    Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari :
    a. Bilangan bulat positif ( bilangan asli )
    b. Bilangan nol
    c. Bilangan bulat negatif ( lawan bilangan asli )

2. Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat
    a. Jika a ˃ b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x c
    b. Jika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x c
        Contoh :
        1. 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6 x 6 > 2 x 6
        2. 5 < 7 dan bilangan bulat positif, maka 5 x 3 < 7 x 3

     b. Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka a x c < b x c
         Jika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka a x c > b x c
         Contoh :
         1. -2 > -6 dan -3 ( bilangan bulat negatif ), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)
         2. -3 < 2 dan -5 ( bilangan bulat negatif ), maka -3 x (-5) > 2 x (-5)

      c. Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka a x c = b x c
          Contoh :
          1. 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0
          2. 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0

3. Lawan Bilangan Bulat
    a. Setiap lawan bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juha merupakan bilangan bulat
    b. Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
       
        a + (-a) = 0 

        Contoh :
        1. Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
        2. Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
        3. Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0


OPERASI BILANGAN BULAT

Penjumlahan Bilangan Bulat
    a. Menjumlahkan bilangan positif
        Karena keduanya memiliki tanda yang sama, maka jumlahkan saja kedua bilangan tersebut dan           tandanya mengikuti tanda yang sama pada kedua bilangan yang dijumlahkan.
        Contoh :
        3 + 5 = 8  pada garis bilangan dituliskan :

   


    b. Menjumlahkan bilangan negatif :
        Karena kedua bilangan yang dijumlahkan bertanda negatif, maka hasil penjumlahannya juga               bertanda negatif.
        Contoh :
        -4 + (-3) = -7, digambarkan pada garis bilangan :

    c. Menjumlahkan bilangan positif dengan bilangan negatif.
        Jika kedua tanda berbeda, perhatikanlah bilangan mana yang lebih besar. Cari selisihnya dan               tanda hasil mengikutti tanda bilangan yang lebih besar.
       Contoh :
       5 + (-2) = 3
       5 ( bertanda positif ) lebih besar dari 2 ( tanpa tanda negatif ) dan selisih dari 5 dan 2 adalah 3,            tanda hasilnya mengikutti tanda bilangan 5 ( positif )
     

    d. Menjumlahkan bilangan negatif dengan bilangan positif
        Contoh :
        -6 + 8 = 2
        6 ( tanpa tanda negatif ) lebih kecil dari 8 ( bertanda positif ) dan selisih dari 6 dan 8 adalah 2,             tanda hasilnya mengikuti tanda bilangan 8 ( positif )
       

2. Pengurangan Bilangan Bulat
    Mengurangi suatu bilangan dengan menjumlahkan bilangan tersebut dengan lawannya.
    Pengurangan bilangan bulat sama dengan penjumlahan bilangan bulat dengan negatif dari bilangan     keduanya.
    a - b  = a + (-b)
    -a - b = -a + (- b)
    a - (-b) = a + (-(-b)) = a + b
    -a - (-b) = -a + (-(-b)) = -a + b

    a. Pengurangan bilangan positif dengan bilangan positif.
        Contoh :
        3 - 6 = 3 + (-6) = -3 dapat dituliskan pada garis bilangan

    b. Pengurangan bilangan negatif dengan bilangan negatif
        Contoh :
        -3 - (-6) = -3 + 6 = 3, digambarkan pada garis bilangan :

   c. Pengurangan bilangan positif dengan bilangan negatif.

       Contoh :

       3 - (-2) = 3 + 2 = 5, digambarkan pada garis bilangan :

       

   d. Pengurangan bilangan negatif dengan bilangan positif

       Contoh :

       -3 - 4 = -3 + (-4) = -7, digambarkan pada garis bilangan :

3. Untuk perkalian dan pembagian bilangan bulat, caranya mirip dengan perkalian pada bilangan asli,     tetapi tanda hasil perkaliannya ( atau pembaginya ) meengikuti aturan tertentu, sedangkan                   aturannya adalah :

    Jika dua bilangan yang dikalikan ( dibagikan ) memiliki tanda yang sama, maka hasilnya bertanda       positif. Jika dua bilangan yang dikalikan ( atau dibagi ) memiliki tanda yang berbeda ( satu positif       dan satu negatif ), maka hasilnya bertanda negatif.

    Contoh :
    5 x 5 = 25
    5 x -5 = -25
    -5 x -5 = 25

RUMUS BANGUN RUANG : KUBUS, BALOK, LIMAS SEGI EMPAT, LIMAS SEGI TIGA, PRISMASEGITIGA, TABUNG, KERUCUT DAN BOLA

RUMUS - RUMUS BANGUN RUANG

Bangun ruang adalah bangun matematika yang memiliki isi ataupun volume. Bagian - bagian ruang antara lain :

1. Sisi, bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang 

    dengan ruang disekitarnya.

2. Rusuk, merupakan pertemuandua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang.

3. Titik sudut, titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih

TABUNG
Tabung adalah suatu bangun ruang berbentuk prisma tegak beraturan dengan alas dan tutupnya berupa lingkaran. Yang teermasuk dalam bagian - bagian tabung adalah bidang lingkaran alas, tinggi tabung dan selimut tabung.
Sifat - sifat tabung :
1. Tabung mempunyai sisi sebanyak 3 buah, yaitu sis alas, sisi atas, dan selimut tabung
2. Tidak memiliki titik sudut
3. Bidang atas dan bidang bawah berbentuk lingkaran dengan ukuran yang sama
4. Memiliki sisi lengkung yang disebut selimut tabung
5. Jarak bidang atas dan bidang bawah disebut tinggi tabung

Contoh Soal TABUNG :

          1.       Diketahui volume tabung 1540 cm³ dengan jari – jari 7 cm. Berapakah tinggi tabung                        tersebut?

           Penyelesaian :

           Diketahui : V = 1540 cm³

                              r = 7 cm

           Ditanya : t ?

         

                1540 cm³       = 22/7 ( 7 x 7 ) x t

                1540 cm³       = 154 cm x t

                         t            = 1540 cm³ / 154 cm

                         t            = 10 cm

         2.       Sebuah tangki berbentuk setengah tabung  yang mempunyai diameter 4 m, dan tinggi 10 m

         Tentukan berapa liter air yang dapat ditampung pada setengah tabung tersebut ?

          Penyelesaian :

          Diketahui : d =  4m, maka r =2

                             t  = 10 m

          Ditanya : V?

          Maka : V setengah tabung = ½ x 3,14 x 2m x 2m x 10m

                                                     = 3,14 x ½ x 40 m

                                                     = 3,14 x 20 m

                                                     = 62,8 m³

                                                     = 62,8 m³ x 1000

                                                     = 62.800 liter

                                                   

        3.       Tabung tertutup memiliki jari – jari 20 cm dan tinggi 40 cm.  Tentukanlah volume tabung,                luas alas tabung, luas tutup tabung, luas selimut tabung, luas permukaan tabung, dan luas                permukaan tabung jika tutupnya dibuka?

         Penyelesaian :

         Diketahui : r = 20 cm

                            t = 40 cm

         Ditanya : a. V tabung ?

                         b. L alas tabung ?

                         c. L tutup tabung ?

                         d. L selimut tabung ?

                         e. L permukaan tabung ?

                         f. L permukaan tabung jika tutupnya dibuka ?

        Maka :

      a.       Volume tabung

                        V = 3,14 x 20cm x 20cm x 40cm

                        V = 50.240 cm³

      b.      Luas alas tabung
            L = 3,14 x 20cm x 20
                = 1.256 cm²

      c.       Luas tutup tabung

      Luas tutup tabung = Luas alas taabungnya

      Luas tutup tabung = 1.256 cm²

      d.      Luas selimut tabung

      L = 2 x 3,14 x 20cm x 40
         = 5.024 cm²

      e.      Luas permukaan tabung

      L = luas selimut + luas alas + luas tutup 

          = 2 x 3,14 x 20 cm  ( 20 cm + 40 cm )
          = 7.536 cm²

  

       f.        Luas permukaan tabung jika tutupnya dibuka

       L = Luas selimut + luas alas

          = 5.024 cm² +  1.256 cm²

          = 6.280 cm²

        Atau

       L = Luas permukaan – luas tutup

       L = 7.536 cm² - 1.256 cm²

          = 6.280 cm²

BOLA
Bola adalah bangun ruang sisi lengkung yag dibatasi oleh satu bidang lengkunng. Bola didapatkan dari bangun setengah lingkaan yang diputar satu putaran penuh atau 360 derajat pada garis tenggahnya.
Sifat - sifat bola :
1. Hanya memiliki satu buah sisi
2. Tidak memiliki titik sudut
3. Hanya mempunyai sebuah sisi lengkung yang tertuutup

Contoh Soal BOLA :

1.       Sebuah bola mempunyai diameter  24 cm. Berapakah volume yang ada pada bola tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui : d = 24 cm

                     r = 12 cm

Ditanya : V ?

Maka :

                      V = 4/3 x 22/7 x 12³ cm

                          = 4/3 x 22/7 x 1728 cm

                          = 7234,56 cm³

2.       Diketahui jari – jari sebuah bola adalah 7 cm, apabila π = 22/7 , maka berapakah volume dari bola tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui : r  = 7cm

                      = 22/7

Ditanya  : V ?

Maka :

V = 4/3 x 22/7 x 7³ cm
    = 4/3 x 22/7 x 343 cm
    = 143,7 cm³

3.       Sebuah besi berbentuk bola berada dalam sebuah tabung terbuka pada bagian atasnya.

Kemudian tabung diisi dengan air hingga penuh. Jika diameter  dan tinggi tabung  sama dengan diameter bola yaitu 60cm, maka tentukanlah volume air yang dapat tertampung oleh tabung ?

Penyelesaian :

Diketahui : t tabung = 60cm

                  d tabung = 60 cm, maka r tabung = 30 cm

                  d bola      = 60 cm, maka r bola      = 30 cm

Ditanya : V air yang dapat tertampung oleh tabung ?

V air yang bisa ditampung di tabung = V tabung – V bola yang ada di dalamnya

V  tabung   = 3,14 x 30cm x 30cm x 60cm

                   = 169.560 cm³ 

                   

V bola        = 4/3 x 3,14 x 30cm x 30cm x 30cm

       = 113.040 cm³

V air = V tabung – V bola

         = 169.560 cm³ - 113.040 cm³

         = 56.520 cm³

4.       Dua bola dengan jari – jari 10cm dan 20cm. Tentukan perbandingan volume kedua benda, dan tentukan perbandingan luas permukaan kedua bola ?

Penyelesaian :

Diketahui : r1 = 10cm

                    r2 = 20cm

Ditanya : a. Perbandingan volume kedua benda ?

                 b. Perbandingan luas permukaan kedua bola ?

Jawab :

a.       Perbandingan volume dua buah bola akan sama dengan perbandingan pangkat tiga dari jari – jari masing – masing bola.

V₁ : V₂ = r₁³ : r₂³

            = ( 10cm x 10cm x 10cm ) : ( 20cm x 20cm x20cm )

            = 1000cm : 8000cm

            = 1cm : 8cm

b.      Perbandingan luas permukaan dua buah bola akan sama dengan perbandingan kuadrat jari – jari masing – masing bola.

L₁ : L₂ = r₁² : r₂²

           = ( 10cm x 10cm ) : ( 20cm x 20cm )

           = 100cm : 400cm

           = 1cm : 4cm

KERUCUT
Kerucut adalah bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas yang bidang alasnya berbentuk lingkaran.
Sifat - sifat kerucut :
1. Alasnya berbentuk lingkaran
2. Memiliki sisi leengkung yang disebut selimut kerucut
3. Memiliki sebuah titik puncak
4. Jarak titik puncak ke alas disebut tinggi kerucut


Contoh Soal KERUCUT :

1.     Kerucut memiliki jari – jari sebesar r = 30cm dan garis pelukis ( s ) = 50cm

Tentukanlah tinggi kerucut, volume kerucut, luas selimut kerucut, luas permukaan kerucut ?

Penyelesaian :

Diketahui : r = 30cm

                   s = 50cm

Ditanya :

a.       Tinggi kerucut ?

b.      Volume kerucut

c.       Luas selimut kerucut ?

d.      Luas permukaan kerucut ?

Jawab :

a.       Tinggi Kerucut

Tinggi kerucut dicari dengan menggunakan phytagoras

t² = s² - r²

    = ( 50cm x 50cm ) – ( 30cm x 30cm )

    = 2.500cm – 900cm

t ² = 1600 cm

t  = √1600

    = 40 cm

b.      Volume kerucut

V = ¹/₃ π r² t
V = ¹/₃ x 3,14 x × 30 x 30 x 40
V = 37.680 cm³

c.       Luas selimut kerucut

      L = π r s
L = 3,14 x 30 x 50
L = 4 710 cm²

d.      Luas permukaan kerucut

L = π r (s + r)
L = 3,14 x 30 (50 + 30)
L = 3,14 x 30 x 80

   = 7.536 cm² 

2.       Perhatikan gambar berikut :

Jari – jari dan tinggi taabung masing – masing 30cm dan 60 cm, tinggi kerucut dan garis pelukisnya masing – masing adalah 40cm dan 50cm. Tentukan luas permukaan bangun tersebut.

Penyelesaian :

L  tabung tanpa tutup = 2π r t + π r²

                               = ( 2 x 3,14 x 30cm x 60cm ) + ( 3,14 x 30cm x 30cm )

                               = 11.304 cm + 2.826 cm

                               = 14.130 cm²

 L Selimut kerucut  = π r s

                                  = 3,14 x 30cm x 50cm

                                  = 4.710 cm²

Luas bangun = 14.130 cm² + 4.710 cm²

                       = 18.840 cm²

3.      Sebuah kerucut setinggi  30cm memiliki alas dengan keliling 66cm ( π = 22/7 ). Berapakah volume kerucut tersebut ?

Penyelesaian :

Alas kerucut berupa lingkaran sedangkan jari – jari diambil dari kelilingnya

Diketahui :  t = 30 cm

                     k = 66 cm

                     π = 22/7

Ditanya : V ?

Jawab :

K  = 2 π r

66 = 2 x 22/7 x r

R  =  ( 66 x 7 ) : ( 2 x 22 )

    =   21/2 cm

V  = 1/3 π r² t

    = 1/3 x 22/7 x 21/2 x 21/2 x 30

    = 3.465 cm³

                   

KUBUS
Kubus terdiri dari unsur - unsur : sisi atau bidang, rusuk, titik sudut, diagonal bidang atau diagonal sisi, diagonal ruang, bidang diagonal.
Sifat - sifat kubus :
1. Mempunyai enam buah sisi dengan ukuran dan bentuk yang sama persis
2. Jumlah rusuk yang membentuknya ada 12 buah dengan ukuran yang sama persis
3. Rusuk tersebut saling berrtemu dan membentuk delapan buah sudut yang besarnya sama ( 90     derajat )

Contoh Soal KUBUS :

1.       Tentukan panjang rusuk kubus dan luas permukaan kubus jika volume kubus 1000 cm³.

Penyelesaian :

Diketahui : V = 1000 cm³

Ditanya :

a.       Rusuk ?

b.      Luas permukaan kubus ?

Jawab :

a.       Rusuk

V = s x s x s

S  = ³√ 1000

    = 10 cm

b.      Luas permukaan kubus

L = 6 ( sisi x sisi )

   = 6 x ( 10cm x 10cm )

   = 600 cm³

2.     Bak mandi berbentuk kubus dengan tinggi bak 1m. Berapakah volume bak mandi tersebut jika di dalam liter ?

Penyelesaian :

Diketahui : t = 1m

Ditanya : V ?

Jawab :

V = s x s x s

    = 1m x 1m x 1m

    = 1 m³

1m³ = 1000 liter

3.      Kubus memiliki panjang rusuk 5cm. Berapa luas permukaan kubus dan volume kubus ?

Penyelesaian :

Diketahui : r = 5 cm

Ditanya : Luas dan volume ?

Jawab :

L  = 6 x s²

    = 6 x   5cm x 5cm

    = 150 cm²

V = s³

    = 5cm x 5cm x 5cm

    = 125 cm³